PELUANG I

PELUANG
Aturan Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
 

            a.      Aturan Penjumlahan dan Perkalian

      Perluasan Aturan Penjumlahan

      Kegiatan m adalah kegiatan-kegiatan yang sepasang-sepasang saling lepas, dan misalkan kegiatan  1 terjadi dengan n1 cara, kegiatan 2 terjadi dengan n2 cara, kegiatan 3 terjadi dengan n3 cara, ... , dan kegiatan m terjadi dengan nm cara, maka kegiatan 1, kegiatan 2, kegiatan 3, ..., atau kegiatan m akan terjadi sebanyak n1+n2+n3+... +nm cara

      Perluasan Aturan Perkalian

      Kegiatan m adalah kegiatan-kegiatan yang sepasang-sepasang saling lepas, dan misalkan kegiatan  1 terjadi dengan n1 cara, kegiatan 2 terjadi dengan n2 cara, kegiatan 3 terjadi dengan n3 cara, ... , dan kegiatan m terjadi dengan nm cara, maka kegiatan yang diperoleh dari melakukan kegiatan 1 kemudian dilanjutkan kegiatan 2, kemudian dilanjutkan dengan kegiatan 3, ..., terakhir dilanjutkan dengan kegiatan m, maka akan terjadi sebanyak n1.n2.n3. ... nm cara.

            b.      Penyusunan dan Pengambilan

                 i. Permutasi r unsur dari n unsur merupakan penyusunan r unsur dari n unsur tanpa pengulangan dan dinotasikan dengan  nPr atau P(n,r) dengan,

                  ii. Kombinasi r unsur dari n unsur merupakan pengambilan r unsur dari n unsur tanpa pengembalian dan dinotasikan dengan  nCr atau C(n,r) dengan,

            c.      Menentukan Rumus Permutasi dan Penerapannya

            Contoh:

1.     Tentukan banyak cara menyusun 3 kartu dari 5 kartu 3-B, 4-B, 5-B, 6-B,7-B!

Penyelesaian:

      Untuk menyelesaikan contoh di atas, Anda bisa membuat tiga kotak sebagai tempat pengaturan 3 kartu dari 5 kartu 3-B, 4-B, 5-B, 6-B,7-B, misalnya

(1)	(2)	(3)

      Karena terdapat 5 kartu, maka kotak (1) dapat diisi oleh 5 kartu, sehingga pada kotak (1) ada 5 kemungkinan.

      Karena 1 kartu sudah diidikan pada kotak (1), maka sisa kartu tinggal 4 yang akan diisikan pada kotak (2). Maka, pada kotak (2) terdapat 4 kemungkinan.

      Kotak (3) hanya terdapat 3 kemungkinan, karena 1 kartu sudah diisikan pada kotak (1) dan 1 kartu diisikan pada kotak (2).

      Jadi, pada kotak (1) terdapat 5 kemungkinan, kotak (2) terdapat 4 kemungkinan, dan kotak (3) terdapat 3 kemungkinan.

(1)	(2)	(3)
5	4	3

Dengan aturan perkalian, diperoleh banyak cara penyusunan adalah 5 . 4 . 3 = 60.

Perhatikan bahwa:

  

2.      Tentukan banyak cara membagikan 3 kartu berbeda kepada 6 pemain dengan syarat setiap pemain paling banyak mendapatkan satu kartu. 
Penyelesaian: 
Anda dapat menyelesaikan masalah di atas dengan langkah-langkah sbagai berikut:
i.     Kartu pertama dapat dibagikan kepada 6 pemain, sehingga cara membagikan kartu pertama ada 6 kemungkinan.
ii.     Karena 1 pemain sudah mendapatkan 1 kartu, maka tinggal 5 pemain yang dapat  dibagikan kartu kedua, sehingga banyak cara membagikan kartu kedua ada 5 kemungkinan.

iii.   Karena 1 pemain sudah mendapatkan kartu pertama, dan 1 pemain lagi sudah mendapatkan kartu kedua, maka kartu ketiga dapat dibagikan kepada 4 pemain yang belum mendapatkan kartu. Sehingga, banyak cara membagikan kartu ketiga ada 4 kemungkinan.

                     

Dengan menggunakan prinsip perkalian, maka banyak cara membagikan 3 kartu berbeda kepada 6 pemain dengan syarat setiap pemain paling banyak mendapatkan satu kartu adalah

KESIMPULAN

Dari contoh-contoh di atas didapatkan bahwa rumus dari banyak permutasi r unsur dari n unsur, yaitu:

           d.      Menentukan Rumus Kombinasi dan Penerapannya

            Contoh:

1.      Tentukan banyak cara pengambilan 3 kartu dari 5 kartu 2-C, 3-C, 4-C, 5-C, 6-C!

Penyelesaian:

      Banyak cara dalam pengambilan 3 kartu dari 5 kartu 2-C, 3-C, 4-C, 5-C, 6-C sama halnya dengan menentukan banyaknya himpunan bagian dari {2-C, 3-C, 4-C, 5-C, 6-C} yang mempunyai 3 anggota, yaitu 8 diantaranya {2-C, 3-C, 4-C},{2-C, 3-C, 5-C}, {2-C, 3-C, 6-C}, {2-C, 4-C, 5-C}, {2-C, 4-C, 6-C}, {3-C,4-C, 5-C}, {3-C,4-C, 6-C}, {4-C, 5-C,6-C}.

Banyak cara mengambil 3 kartu dari 5 kartu 2-C, 3-C, 4-C, 5-C, 6-C merupakan contoh dari kombinasi 3 unsur dari 5 unsur, C(5,3), sedangkan banyak cara menyusun 3 kartu dari 5 kartu 2-C, 3-C, 4-C, 5-C, 6-C merupakan  contoh dari permutasi 3 unsur dari 5 unsur, P(5,3).

Kalau Anda perhatikan, banyak cara permutasi 3 unsur dari 5 unsur P(5,3) dapat diperoleh dari menyusun setiap unsur C(5,3), yaitu {2-C, 3-C, 4-C}, {2-C, 3-C, 5-C}, {2-C, 3-C, 6-C}, {2-C, 4-C, 5-C}, {2-C, 4-C, 6-C}, {3-C,4-C, 5-C}, {3-C,4-C, 6-C}, {4-C, 5-C,6-C}. Anda ketahui bahwa banyak susunan dari {2-C, 3-C, 4-C} sama dengan banyak permutasi 3 unsur P(3,3). Demikian juga dengan banyak susunan untuk {2-C, 3-C, 5-C}, {2-C, 3-C, 6-C}, {2-C, 4-C, 5-C}, {2-C, 4-C, 6-C}, {3-C,4-C, 5-C}, {3-C,4-C, 6-C}, {4-C, 5-C,6-C} sama dengan permutasi 3 unsur P(3,3). Jadi, banyak cara permutasi 3 unsur dari 5 unsur sama dengan banyak cara kombinasi 3 unsur dari 5 unsur C(5,3) dikalikan banyak permutasi 3 unsur P(3,3) atau P(5,3) = C(5,3) P(3,3). Sehingga diperoleh:

KESIMPULAN

Dari contoh di atas, didapatkan bahwa rumus dari banyak kombinasi r unsur dari  n unsur yaitu:

           e.      Menentukan Rumus Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama dan Penerapannya

Contoh:

1.      Tentukan banyak susunan yang diperoleh dari 3 huruf A, 2 hurf B, dan 1 huruf C!

Penyelesaian:

Masalah ini dapat dipandang sebagai masalah meletakkan 3 huruf A, 2 hurf B, dan 1 huruf C ke dala 6 tempat yang berbeda dengan syarat setiap tempat hanya terisi 1 huruf. Anda bisa membuat 6 kotak sebagai tempat seperti berikut:

(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)
...	...	...	...	...	...

Maka, langkah-langkah penyelesaiannya:
i. Meletakkan 3 huruf A ke dalam 6 kotak yang tersedia, ini sama halnya dengan C(6,3).
ii.  Meletakkan 2 huruf B ke dalam  kotak yang tersisa karena 3 kotak sudah terisi dengan huruf A. Ini sama halnya dengan C(3,2).
iii. Meletakkan 1 huruf C ke dalam 1 kotak yang tersisa,yang artinya sama dengan C(1,1).

Dengan aturan perkalian, diperolehlah banyak susunan yang diperoleh dari 3 huruf A, 2 hurf B, dan 1 huruf C adalah

2.   Berapa banyak cara penyusunan kata yang disusun dari kata “SUSUNAN”?

Penyelesaian:

Jumlah huruf dari kata “SUSUNAN” ada 7 huruf, yaitu 2 huruf S, 2 huruf U, 2 huruf N, dan 1 huruf A. Sama seperti contoh 1, masalah ini dapat dipandang sebagai masalah dalam meletakkan 2 huruf S, 2 huruf U, 2 huruf N, dan 1 huruf A ke dalam 7 tempat yang berbeda dengan syarat masing-masing tempat hanya terisi 1 huruf. Anda bisa membuat 7 kotak sebagai tempat seperti berikut:

(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)
...	...	...	...	...	...	...

Maka, langkah-langkah penyelesaiannya:
i.  Meletakkan 2 huruf S ke dalam 7 kotak yang tersedia, ini sama halnya dengan C(7,2).
ii.  Meletakkan 2 huruf U ke dalam 5 kotak yang tersisa karena 2 kotak sudah terisi dengan huruf S. Ini sama halnya dengan C(5,2).
iii. Meletakkan 2 huruf N ke dalam 3 kotak yang tersisa,yang artinya sama dengan C(3,2).
iv. Meletakkan 1 huruf A ke dalam 1 kotak yang tersisa, yang artinya sama dengan C(1,1).

Dengan aturan perkalian, diperolehlah banyak cara penyusunan kata yang diperoleh dari kata “SUSUNAN” adalah